Para matematycy rozwiązali pierwszy fragment jednego z najsłynniejszych przypuszczeń dotyczących addytywnych właściwości liczb całkowitych. Zaproponowana ponad 60 lat temu przez legendarnego węgierskiego matematyka Paula Erdősa hipoteza pyta, kiedy nieskończona lista liczb całkowitych z pewnością będzie zawierała wzory składające się z co najmniej trzech równomiernie rozmieszczonych liczb, takich jak 26, 29 i 32.
Oryginalna historia przedrukowane za zgodą Quanta Magazine, niezależna od redakcji publikacja Fundacja Simonsa którego misją jest zwiększenie zrozumienia nauki przez społeczeństwo poprzez omówienie rozwoju badań i trendów w matematyce oraz naukach fizycznych i przyrodniczych.
Erdős sprawiał tysiące problemów w trakcie swojej kariery, ale pytanie, które listy liczbowe zawierają liczby rozmieszczone w równych odstępach (co matematycy nazywają progresjami arytmetycznymi), było jednym z jego ulubionych wszech czasów. „Myślę, że wiele osób uznało to za problem numer jeden Erdősa” – powiedział Timothy Gowers z University of Cambridge. Gowers, który wygrał Medal Fieldsa w 1998 roku spędził wiele godzin próbując go rozwiązać. „Całkiem dobrze, każdy kombinatorialista addytywny, który jest dość ambitny, próbował swoich sił w tym” – powiedział, odnosząc się do gałęzi matematyki, do której należy to przypuszczenie.
Z reguły gęstsza lista liczb ma większe szanse na zawarcie postępów arytmetycznych niż rzadsza lista, więc Erdős zaproponował prosty test gęstości: po prostu zsumuj odwrotności liczb na swojej liście. Jeśli twoich liczb jest wystarczająco dużo, aby uczynić tę sumę nieskończoną, Erdős przypuszczał, że twoja lista powinna zawierać nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych o każdej skończonej długości – potrójne, poczwórne i tak dalej.
Teraz w papier opublikowane w Internecie 7 lipca, Thomas Bloom z Cambridge i Olof Sisask z Uniwersytetu Sztokholmskiego udowodnili przypuszczenie, jeśli chodzi o równo rozmieszczone trójki, takie jak 5, 7 i 9. Para pokazała, że ilekroć suma odwrotności na liście liczb jest nieskończona, musi zawierać nieskończenie wiele równo rozmieszczonych trójek.
„Ten wynik był przełomowym celem przez wiele lat” – powiedział Nets Katz z California Institute of Technology. “To ważna sprawa.”
Jeden zbiór, którego odwrotności sumują się do nieskończoności, to liczby pierwsze, liczby podzielne tylko przez 1 i siebie. W latach trzydziestych XX wieku Johannes van der Corput wykorzystał do tego specjalną strukturę liczb pierwszych pokazać że rzeczywiście zawierają nieskończenie wiele równo rozmieszczonych trójek (takich jak 17, 23 i 29).
Ale nowe odkrycie Blooma i Sisaska oznacza, że nie potrzebujesz dogłębnej wiedzy o unikalnej strukturze liczb pierwszych, aby udowodnić, że zawierają nieskończenie wiele trójek. Wszystko, co musisz wiedzieć, to to, że liczby pierwsze są na tyle liczne, że suma ich odwrotności jest nieskończona – o tym matematycy wiedzą od wieków. „Wynik Thomasa i Olofa mówi nam, że nawet jeśli liczby pierwsze miałyby zupełnie inną strukturę niż ta, którą mają w rzeczywistości, sam fakt, że jest ich tyle, ile jest, zapewni nieskończoność postępów arytmetycznych” – napisał Tom Sanders z University of Oxford w e-mailu.
Nowy artykuł ma 77 stron i jego dokładne sprawdzenie zajmie matematom trochę czasu. Ale wielu uważa, że to prawda. „To naprawdę wygląda tak, jak powinien wyglądać dowód tego wyniku” – powiedział Katz, którego wcześniejsze prace położyły wiele podwalin pod nowy wynik.
Twierdzenie Blooma i Sisaska sugeruje, że dopóki lista liczb jest wystarczająco gęsta, muszą pojawić się pewne wzorce. Odkrycie jest zgodne z tym, co Sarah Peluse z Oksfordu nazwała podstawowym hasłem tej dziedziny matematyki (pierwotnie sformułowanym przez Theodore’a Motzkina): „Całkowity nieład jest niemożliwy”.
Gęstość w przebraniu
Łatwo jest stworzyć nieskończoną listę bez postępów arytmetycznych, jeśli lista jest wystarczająco rzadka. Na przykład, rozważ sekwencję 1, 10, 100, 1000, 10 000,… (której odwrotności sumują się do skończonego dziesiętnego 1,11111…). Te liczby rozprzestrzeniają się tak szybko, że nigdy nie można znaleźć trzech, które są równomiernie rozmieszczone.
Możesz się jednak zastanawiać, czy istnieją znacznie gęstsze zestawy liczb, które nadal unikają postępów arytmetycznych. Możesz na przykład przejść wzdłuż osi liczbowej i zachować każdą liczbę, która nie kończy postępu arytmetycznego. Tworzy to sekwencję 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14,…, która na początku wygląda dość gęsto. Ale staje się niewiarygodnie rzadkie, gdy przechodzisz do wyższych liczb – na przykład, gdy dojdziesz do liczb 20-cyfrowych, tylko około 0,000009% liczb całkowitych do tego momentu znajduje się na liście. W 1946 roku wymyślił Felix Behrend gęstsze przykłady, ale nawet te stają się rzadkie bardzo szybko – zbiór Behrenda, który sięga do 20-cyfrowych liczb, zawiera około 0,001 procent liczb całkowitych.
